时间空间复杂度入门

对于初学者，你只需要记住以下几点：

1、时空复杂度用 Big O 表示法表示（类似 $�(1),�({�}^2),�(����)$ 等）。它们都是估计值，不需要精确计算，常数项和低增长项都可以忽略，仅需保留最高增长项。

比方说 $�(2{�}^2+3�+1)$ 等同于 $�({�}^2)$，$�(1000�+1000)$ 等同于 $�(�)$。

2、我们分析算法复杂度时，分析的是最坏情况的复杂度。这一点会在下面的示例中体现。

3、时间复杂度用来衡量一个算法的执行效率，空间复杂度用来衡量算法的内存消耗，它们都是越小越好。

比方说时间复杂度 $�(�)$ 的算法比 $�({�}^2)$ 的算法执行效率高，空间复杂度 $�(1)$ 的算法比 $�(�)$ 的算法内存消耗小。

当然，一般我们要说明这个 $�$ 代表什么，比如 $�$ 代表输入的数组的长度。

4、如何估算？现在你可以简单理解：时间复杂度大部分情况下就是看 for 循环的最大嵌套层数；空间复杂度就看算法申请了多少空间来存储数据。

注意

以上的分析方法中，有些细节并不严谨：

1、按照 for 循环的嵌套层数来估算时间复杂度是简化的方法，其实不完全准确。

2、大部分时候我们是分析最坏情况下的复杂度，但是对于数据结构 API 的复杂度衡量，我们会分析平均复杂度。

完善的复杂度分析方法会在 算法时空复杂度分析实用指南 具体介绍，以上估算方法对于学习本章内容足够了。

举几个例子来说比较直观。

时间/空间复杂度案例分析

示例一，时间复杂度 $�(�)$，空间复杂度 $�(1)$：

// 当 n 是 10 的倍数时，计算累加和，否则返回 -1
int sum(int n) {
    if (n % 10 != 0) {
        return -1;
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

其实只有当 n 是 10 的倍数时，算法才会执行 for 循环，时间复杂度是 $�(�)$。其他情况下算法会直接返回，时间复杂度是 $�(1)$。

但是算法复杂度只考察最坏情况，所以这个算法的时间复杂度是 $�(�)$，空间复杂度是 $�(1)$。

示例三，时间复杂度 $�({�}^2)$，空间复杂度 $�(1)$：

// 数组是否存在两个数，它们的和为 target？
bool hasTargetSum(vector<int>& nums, int target) {
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        for (int j = i + 1; j < nums.size(); j++) {
            if (nums[i] + nums[j] == target) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

算法嵌套了两层 for 循环，所以时间复杂度是 $�({�}^2)$，其中 $�$ 代表 nums 数组的长度。

我们的算法只使用了 i, j 两个变量，这是常数级别的空间消耗，所以空间复杂度是 $�(1)$。

你也许会说，内层的 for 循环并没有遍历整个数组，且有可能提前 return，算法实际执行的次数应该是小于 ${�}^2$ 的，时间复杂度还是 $�({�}^2)$ 吗？

是的，还是 $�({�}^2)$。具体到不同的输入，算法的实际执行次数确实会小于 ${�}^2$，但我们不需要关心这些细节，估算一个最坏情况的时间复杂度就可以了。

每层 for 循环在最坏情况下都是 $�(�)$ 的时间复杂度，套在一起，总的时间复杂度是 $�({�}^2)$。

示例四，时间复杂度 $�(�)$，空间复杂度 $�(�)$：

void exampleFn(int n) {
    vector<int> nums(n);
}

这个函数中创建了一个大小为 n 的数组，所以空间复杂度是 $�(�)$。

对于 Java 来说，new int[n] 这个操作会申请数组空间并将所有元素初始化为 0。内存申请操作的时间复杂度可以认为是 $�(1)$，但初始化所有元素的操作相当于一个隐藏的 for 循环，时间复杂度是 $�(�)$。所以总的时间复杂度是 $�(�)$。

时间复杂度并不仅仅体现在你看得到的 for 循环，每一行代码都可能有隐藏的时间复杂度。所以说要了解编程语言提供的常用数据结构实现原理，这是准确分析时间复杂度的基础。

示例五，时间复杂度 $�(�)$，空间复杂度 $�(�)$：

// 输入一个整数数组，返回一个新的数组，新数组的每个元素是原数组对应元素的平方
vector<int> squareArray(vector<int>& nums) {
    vector<int> res(nums.size());
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        res[i] = nums[i] * nums[i];
    }
    return res;
}

算法初始化 res 数组需要 $�(�)$ 的时间复杂度，包含一个 for 循环，时间复杂度也是 $�(�)$，总的时间复杂度是还是 $�(�)$ 其中 n 代表 nums 数组的长度。

我们声明了一个新的数组 res，这个数组的长度和 nums 数组一样，所以空间复杂度是 $�(�)$。

好了，初学者明白上面这些基本的时间、空间复杂度分析暂时就够用了